επιφάνεια

I

(Γεωμ.). Όρος που χαρακτηρίζει για τον συνηθισμένο χώρο κάθε σύνολο από σημεία (x, ψ, z) του χώρου με x = x (u, υ), ψ = ψ (u, υ), z = z (u, υ), όπου οι συναρτήσεις: (1) χ (u, υ), ψ (u, υ), z (u, υ) νοούνται ορισμένες σε ένα υποσύνολο του επιπέδου uυ. Είναι φανερός ο τρόπος που η έννοια γενικεύεται όταν πρόκειται για έναν υπερχώρο. Από τη φύση των συναρτήσεων (1) προκύπτουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της ε. που εξετάζουμε. Αν οι (1) είναι αλγεβρικές συναρτήσεις, τότε η ε. ονομάζεται αλγεβρική· αν οι (1) είναι αναλυτικές συναρτήσεις, τότε η ε. ονομάζεται αναλυτική. Αν μεταξύ των (1) γίνει η απαλοιφή των u, υ, τότε προκύπτει μια εξίσωση f(χ, ψ, z) = 0· η f είναι ένα πολυώνυμο στην περίπτωση που οι συναρτήσεις (1) είναι αλγεβρικές. Αν το πολυώνυμο αυτό είναι ν-βάθμιο, τότε η τομή της επιφάνειας (2) f(x, ψ, z) = 0 με ένα επίπεδο είναι μια αλγεβρική καμπύλη ν βαθμού, ενώ η τομή της (2) με μια ευθεία αποτελείται από ν σημεία, που γενικά είναι διάφορα μεταξύ τους. Ο ν ονομάζεται βαθμός της αλγεβρικής ε. (2). Σε περίπτωση που δύο από τα προηγούμενα ν σημεία συμπίπτουν, η ευθεία είναι εφαπτόμενη της ε. (2), στο σημείο που τα δύο εκείνα σημεία συμπίπτουν. Αν σε ένα σημείο Ρ₀ = (x₀, ψ₀, z₀) μιας ε. (2) υπάρχουν  εφαπτόμενές της, τότε το σύνολό τους είναι οεφαπτόμενος κώνος της ε. (αυτό συμβαίνει, π.χ., στις αλγεβρικές ε.). Αν ο εφαπτόμενος κώνος είναι, ειδικότερα, ένα επίπεδο, τότε αυτό ονομάζεται εφαπτόμενο επίπεδο της (2) στο σημείο P₀ και το σημείο αυτό ονομάζεταιαπλό σημείο της (2)· στην αντίθετη περίπτωση το σημείο ονομάζεται πολλαπλό ανώμαλο. Αν η συνάρτηση f έχει μερικές παραγώγους στο σημείο P₀ = (x₀, ψ₀, z₀), τις [f_x(x₀, ψ₀, z₀), f_ψ(x₀, ψ₀, z₀), f_z (x₀, ψ₀, z₀)] όχι όλες ίσες με μηδέν, τότε υπάρχει εφαπτόμενο επίπεδο της (2) στο P₀ και παριστάνεται με την εξίσωση: f_x(x₀, ψ₀, z₀) . (x – x₀) + f_ψ(x₀, ψ₀, z₀) . (ψ – ψ₀) + f_z(x₀, ψ₀, z₀) . (z – z₀) = 0.

Στη γενικότερη περίπτωση που η ε. παριστάνεται στη μορφή (1), η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου της σε ένα της σημείο (x₀, ψ₀, z₀) = [x(u₀, υ₀), ψ(u₀, υ₀), z(u₀, υ₀)] δίνεται από την εξίσωση:

x - x₀ ψ - ψ₀ z - z₀

x_u (u₀υ₀)ψ_u (u₀υ₀) z_u (u₀υ₀) = 0

x_υ (u₀υ₀)ψ_υ (u₀υ₀) z_υ (u₀υ₀)

όπου xu, ψu, zu, xυ, ψύ, zυ συμβολίζουν τις μερικές παραγώγους των συναρτήσεων x, ψ, z στο σημείο (x₀, ψ₀, z₀) όπου υποτίθεται ότι υπάρχουν.

Η τομή της ε. με το εφαπτόμενό της επίπεδο στο σημείο της P₀ είναι μία καμπύλη, που έχει το P₀ διπλό σημείο. Μεταξύ των από το P₀ ευθειών του εφαπτόμενου σε αυτό επιπέδου της ε. (που είναι προφανώς εφαπτόμενές της) υπάρχουν δύο που χαρακτηρίζονται με τον όρο ασυμπτωτικές. Αν οι δύο ασυμπτωτικές αυτές διευθύνσεις είναι πραγματικές-διαφορετικές, συμπίπτουσες ή συζυγείς μιγαδικές, τότε το σημείο P₀ χαρακτηρίζεται (αντίστοιχα) με τον όρο: υπερβολικό, παραβολικό, ελλειπτικό. Συζυγείς εφαπτόμενες στο σημείο P₀ χαρακτηρίζονται οι δύο εκείνες εφαπτόμενες στο P₀ που είναι αντίστοιχες στην ενέλιξη με διπλές ευθείες τις ασυμπτωτικές από το P₀. Οι διχοτόμοι των γωνιών των ασυμπτωτικών ονομάζονται πρωτεύουσες εφαπτόμενες. Αν τεθεί , χuχυ + ψuψυ + zuzυ = F, , τότε το μήκος τόξου s (γραμμικό στοιχείο της επιφάνειας) δίνεται από τον τύπο: . Το υπόρριζο σε αυτή την παράσταση ονομάζεται πρώτη τετραγωνική μορφή της ε.

ε. 2ου βαθμού. Κάθε ε. με εξίσωση σε καρτεσιανές ομογενείς συντεταγμένες: (s): a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + a₃₃x₃² + 2a₁₂ x₁ x₂ + 2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃ + 2a₁₄x₁x₄ + 2a₂₄x₂x₄ + 2a₃₄x₃x₄ + a₄₄x₄² = 0. Θέτοντας σε αυτήν x₄ = 1, x₁ = x, x₂ = ψ, x₃ = z παίρνουμε τη συνηθισμένη σε καρτεσιανές συντεταγμένες εξίσωση της ε. του 2ου βαθμού.

Οι συντελεστές aij στην προηγούμενη εξίσωση είναι πραγματικοί αριθμοί· η ορίζουσα || aij || = 0 ονομάζεται ορίζουσα της ε. (s). Αν είναι || aij ||, τότε η ε. (s) ονομάζεταιεκφυλισμένη. Ειδικές ε. 2ου βαθμού είναι οι γνωστές, από τη στοιχειώδη γεωμετρία, ε. της σφαίρας, του κυλίνδρου, του κώνου. Οι συντελεστές στην εξίσωση (s) είναι 9. Αν δοθούν στον χώρο εννέα σημεία, τότε ορίζεται μία ε. (s), η οποία περνά από αυτά τα σημεία.

Η τομή κάθε ε. ως η (s) από ένα επίπεδο, έστω Ρ, είναι μια κωνική τομή, έστω Κ. Έστω ότι το Ρ είναι το κατ’ εκδοχή επίπεδο. Τότε: α) αν η κωνική Κ είναι φανταστική, η (s) είναι ένα ελλειψοειδές (πραγματικό ή φανταστικό), εφόσον || aij ||, και ένας φανταστικός κώνος, εφόσον || aij || = 0 · β) αν η Κ είναι πραγματική, τότε η (s) είναι ένα υπερβολοειδές, εφόσον || aij || ≠ 0, και ένας κώνος, εφόσον || aij || = 0, με την προϋπόθεση ότι η Κ δεν είναι εκφυλισμένη (σε δύο ευθείες, διαφορετικές ή συμπίπτουσες). Αν όμως η Κ είναι εκφυλισμένη, τότε το Ρ εφάπτεται στην επιφάνεια (s), η οποία είναι (σε αυτή την περίπτωση) ένα παραβολοειδές, εφόσον || aij || ≠ 0, και ένας κύλινδρος ή δύο επίπεδα, εφόσον || aij || = 0.

Το είδος μιας ε. όπως η (s) μπορεί να χαρακτηριστεί και από τη φύση των τομών της με ένα επίπεδο που εφάπτεται σε αυτήν και όχι κατ’ εκδοχή. Ένα τέτοιο επίπεδο τέμνει την (s) κατά μία κωνική Κ, που έχει ένα σημείο διπλό και επομένως η Κ εκφυλίζεται σε δύο ευθείες (πραγματικές ή φανταστικές). Αν οι ευθείες αυτές είναι πραγματικές και διαφορετικές μεταξύ τους, τότε αποδεικνύεται ότι το ίδιο θα συμβαίνει με κάθε εφαπτόμενο επίπεδο της (s)· τα σημεία της (s) ονομάζονται τότε υπερβολικά. Η (s) τότε περιέχει δύο συστήματα ευθειών (ευθειογενής ε.)· κάθε δύο ευθείες του αυτού συστήματος είναι ασύμβατες μεταξύ τους, ενώ κάθε ευθεία του καθενός συστήματος τέμνει μία και μόνο ευθεία του άλλου και το σημείο τομής ανήκει στην ε. (s). Η (s) επομένως διαπεράται από κάθε εφαπτόμενό της επίπεδο και είναι ένα υπερβολικό (μονόχωνο) υπερβολοειδές ή ένα υπερβολικό παραβολοειδές (όταν εφάπτεται με το κατ’ εκδοχή επίπεδο). Αν οι δύο ευθείες είναι φανταστικές (συζυγείς), τότε τα σημεία της (s) ονομάζονται ελλειπτικά· η (s) δεν διαπεράται από το εφαπτόμενό της επίπεδο και είναι ένα ελλειψοειδές ή ένα ελλειπτικό παραβολοειδές, ή δίχωνο υπερβολοειδές. Τέλος, αν οι δύο ευθείες συμπίπτουν, η (s) είναι ένας κώνος ή ένας κύλινδρος.

Το ελλειψοειδές και τα υπερβολοειδή (μονόχωνο και δίχωνο) έχουν τρία επίπεδα συμμετρίας, κάθετα μεταξύ τους ανά δύο· οι τρεις αυτές τομές είναι άξονες συμμετρίας της ε. και η κοινή τους τομή είναι κέντρο συμμετρίας της. Γι’ αυτό, οι προηγούμενες ε. ονομάζονται ε. 2ου βαθμού με κέντρο. Τα παραβολοειδή έχουν μόνο δύο επίπεδα συμμετρίας, κάθετα μεταξύ τους. Η τομή τους είναι άξονας συμμετρίας του παραβολοειδούς και τέμνει την ε. σε ένα σημείο, που ονομάζεται κορυφή του παραβολοειδούς. Το ελλειψοειδές και τα υπερβολοειδή ως προς άξονες τους άξονες συμμετρίας τους έχουν εξισώσεις:

[το ελλειψοειδές],

[το φανταστικό ελλειψοειδές],

[το μονόχωνο υπερβολοειδές],

[το δίχωνο υπερβολοειδές].

Τα παραβολοειδή ως προς άξονες που ορίζονται από τα δύο επίπεδα συμμετρίας και το εφαπτόμενο επίπεδο στην κορυφή έχουν εξισώσεις:

[το ελλειπτικό παραβολοειδές],

[το υπερβολικό παραβολοειδές].

Οι προηγούμενες εξισώσεις ονομάζονται κανονικές.

ε. ελεύθερη υγρού. Η ε. που περιορίζει άνωθεν (όχι από τα τοιχώματα του δοχείου) ένα υγρό.

ε. εκ περιστροφής. Ε. που σχηματίζεται από την περιστροφή αμετάβλητης καμπύλης γύρω από μία ευθεία (άξονας περιστροφής), η οποία βρίσκεται μέσα στο επίπεδο αυτής της καμπύλης. Παράδειγμα ε. εκ περιστροφής είναι η σφαιρική ε. που μπορεί να θεωρηθεί ότι σχηματίζεται από την περιστροφή ημιπεριφέρειας γύρω από τη διάμετρό της. Οι γραμμές τομής της ε. εκ περιστροφής με τα επίπεδα που διέρχονται από τον άξονά της λέγονται μεσημβρινοί, ενώ οι γραμμές τομής της με επίπεδα κάθετα στον άξονά της λέγονται παράλληλοι. Αν ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με τον άξονα Οz ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων Οxyz, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις της ε. εκ περιστροφής μπορούν να πάρουν τη μορφή: χ = f(u) cosυ, y = f(u) sinυ, z = u, όπου f(u) η συνάρτηση που καθορίζει τη μορφή της μεσημβρινής καμπύλης και υ η γωνία στροφής του μεσημβρινού επιπέδου.

ευθειογενήςε. Ε. που μπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται από την κίνηση μιας ευθείας (γενέτειρας) κατά μήκος κάποιας καμπύλης (της διευθέτουσας). Οι ευθειογενείς ε. διακρίνονται σε αναπτύξιμες, όταν μπορούν να εφαρμοστούν πάνω σε ένα επίπεδο χωρίς αναδίπλωση ή τεμαχισμό, και μη αναπτύξιμες (στρεβλές ευθειογενείς ε.). Στις αναπτύξιμες ε. όλες οι γενέτειρες εφάπτονται στην ίδια καμπύλη (άκρο παλινδρόμησης της ε.). Παραδείγματα ευθειογενούς ε. είναι ο κώνος, ο κύλινδρος και το μονόχωνο υπερβολοειδές.

ισοδυναμική ε. Ε. που όλα τα σημεία της έχουν το ίδιο δυναμικό. Για παράδειγμα, η ε. ενός αγωγού, στην ηλεκτροστατική, είναι ισοδυναμική ε. Σε ένα δυναμικό πεδίο, οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στην ισοδυναμική ε. και έτσι δεν παράγεται έργο κατά τη μετακίνηση ενός μικρού φορτίου προς οποιαδήποτε κατεύθυνση πάνω στην ε.

II

(Νομ.). Εμπράγματο δικαίωμα επάνω σε κτήμα τρίτου προσώπου, που συνεπάγεται την υποχρέωση εγγειοβελτιώσεων και καταβολή ετήσιου μισθώματος. Πρόκειται για θεσμό του ρωμαιοβυζαντινού δικαίου, ο οποίος ίσχυσε και στο νεότερο ελληνικό δίκαιο. Ως προς τις υφιστάμενες σχέσεις ε., ο A.K. όρισε ότι εξακολουθούν να διέπονται από τους νόμους που τις ρύθμιζαν έως την εισαγωγή του κώδικα.

* * *

(I)

η (AM ἐπιφάνεια) [επιφανής]

1. η φαινομενική όψη σε αντίθεση με την πραγματικότητα («εξετάζει μόνο την επιφάνεια τών πραγμάτων»)

2. η ορατή πλευρά, το εξωτερικό κάθε αντικειμένου (α. «επιφάνεια τής γης, τής θάλασσας» β. «τήν κατὰ πρόσωπον ἐπιφάνειαν ἐσκέπαζον», Πολ.)

3. εκκλ. η εμφάνιση τού Χριστού στους θνητούς

νεοελλ.

1. (γεωμ.) ο γεωμετρικός τόπος τών σημείων στα οποία περατούται ένα ορισμένο τμήμα τού χώρου ή ειδικότερα, τα όρια στα οποία περατούται ένα στερεό σώμα

2. (νομ.) εμπράγματο δικαίωμα τού ρωμαϊκού δικαίου που παρέχει στον δικαιούχο την εξουσία να έχει οικοδομή σε ξένο έδαφος, πληρώνοντας στον κύριο τού εδάφους ετήσιο τέλεσμα*

3. φρ. «βγήκε στην επιφάνεια» — αποκαλύφθηκε

αρχ.-μσν.

1. εμφάνιση, ερχομός, παρουσία («καραδοκοῡντες τὴν ἐπιφάνειαν τῆς ἡμέρας», Πολ.)

2. η βάπτιση τού Χριστού

αρχ.

1. απροσδόκητη εμφάνιση τού εχθρού («σημηνάντων τῶν σκοπῶν αὐτῷ πάλιν τὴν ἐπιφάνειαν τῶν ὑπεναντίων», Πολ.)

2. φανέρωση τού Θεού στους πιστούς ή εμφάνιση τής θείας πρόνοιας

(α. «θαυμάσας τὴν ἐπιφάνειαν τῆς θεοῡ», Πλούτ.

β. «τῇ τοῡ Θεοῡ μεγάλως εὐφρανθέντες ἐπιφανείᾳ», ΠΔ)

3. η δευτέρα παρουσία τού Χριστού

4. άνοδος στον θρόνο

5. εξωτερική επίδειξη, λάμψη, φήμη, δόξα («ἡ ἐπιφάνεια δι’ οὐδενὸς ἄλλου σοι ἔσται ἢ δι’ ἐμοῡ», Πλάτ.)

6. (γεωμ.) η έκταση ενός σώματος κατά μήκος και πλάτος, χωρίς το βάθος («ἐπιφάνεια δέ ἐστιν ὅ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει», Ευκλ.)

7. η επιφάνεια ή το δέρμα τού σώματος, το εξωτερικό ή το βλεννογόνο.

————————

(II)

τα (AM ἐπιφάνεια)

νεοελλ.-μσν.

επιφάνια*

αρχ.

θυσίες που γίνονταν στη γιορτή τής επιφάνειας*, τής φανερώσεως ενός θεού ή τής νέας εμφανίσεως ενός ανθρώπου.

[ΕΤΥΜΟΛ. < επιφάνεια (ενν. ιερά) «τα τελούμενα κατά την εορτή τής επιφανείας» (< επιφανής)].